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Author: lumixraku

Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) .pdf

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 # Lecture04 Transformation Part II
 
 
+
 ## 旋转矩阵是正交矩阵
 
 ![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/transform6.jpg)
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 因为三维的旋转比较复杂, 因此先从某一个固定轴旋转开始. (逆时针)
 
+
+### 绕轴旋转
 ![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/rotate3d.jpg)
 
 Rx(α) 绕 x 轴旋转, y z 就相当于二维坐标中的 x y.
 
-PS 需要说明的是 这个3D变换是针对右手坐标系 左手坐标系的很多值和这里完全相反
+Rz(α) 绕 z 轴旋转, x y 就相当于二维坐标中的 x y.
+
+Ry(α) 绕 y 轴旋转, z x 就相当于二维坐标中的 x y.
+
+PS: 注意一下绕 Y 轴旋转. 矩阵中非0 1 的部分似乎和 绕x  绕y 有些不一样.
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+这是因为 x 是 y ✖️ z 得到  绕 x 旋转, 和 y ✖️ z方向一致. 我们在表示矩阵的时候, 也是 T ✖️ (x0, y0, z0)
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+z 是 x ✖️ y 得到  绕 z 旋转, 和 x ✖️ y 方向一致
+
+而y 是 z ✖️ x 得到, 绕 y 旋转, 和 z ✖️ x 方向一致, 而我们表示矩阵的时候是 T ✖️ (x0, y0, z0)
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+所以这里的绕Y 的旋转, 相比其他两个轴, 存在一个转置. 所以Ry 1,3位置的元素不是 -sinα 而是 sinα
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+### 欧拉角
+3D 中所有旋转都可以分解为绕轴旋转.
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+
+### Rodrigues Rotate Formula 罗德里格斯旋转公式
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+![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/transform7.jpg)
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+空间内的任意一个向量V, 绕旋转轴k 旋转 θ 角度得到新向量 Vθ 的过程.
 
 
 
+### 四元数
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+- 解决死锁问题
+- 平滑插值
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+比如开始时物体旋转了15° , 最终目标物体要旋转25°, 中间如何平滑过度呢? 此刻就需要四元数.
+
 ## view transformation
 - view camera transformation
 - projection transformation
   - 正交投影
   - 透视投影
 
 ## view/camera transformation 视图变换  (也被称为 modelview transformation )
-定义相机的 pos  lookat  up direction (前两个已经可以定义出相机镜头方向  up direction 就是镜头的旋转情况)
-为了方便计算,  先让相机放在原点 看向 -z 的方向, up 方向是 y 的正方向  (相机所拍的物体跟着相机一起运动  这样相机所拍的场景和移动之前都是一样的)
+
+定义一个相机需要
+- pos
+- lookat
+- up direction (前两个已经可以定义出相机镜头方向  up direction 就是镜头的旋转情况)
+
+![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/view0.jpg)
+
+
+
+先让相机移动到原点 并且使得相机看向 -z 的方向, up 方向是 y 的正方向  (相机所拍的物体跟着相机都做上面的变换)
+
+(让相机放在 0, 0, 0 位置是为了后续计算方便)
+
 
 ![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/view.jpg)
 
 因此要做下面的旋转
 
 ![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/view1.jpg)
 
-PS 旋转矩阵是正交矩阵
+
 
 
 ## 投影变换
 
 Projection is a Transformation.  投影是一种变换.
 
+![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/project0.jpg)
+
+
+投影变换最终的效果是把各个坐标映射到 [−1 , 1] 之间，然后再乘以相应的屏幕高度和宽度，得到最终的屏幕坐标。 [−1, 1] 的坐标又成为NDC坐标
+
 ### 正交投影
-视锥体缩放到 [-1, 1] 的立方体中
+
+简单地理解方式:   ( 关键操作: 扔掉 z 轴信息 )
+
+![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/project0.jpg)
+
+
+
+实际上一般是这么操作:
+
+先确定视野范围(图中的矩形空间)  然后标准化( 规则观察体 )
 
 ![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/project.jpg)
 
-先平移到原点  再缩放到标准立方体
+平移到原点  再缩放到标准立方体 (视锥体xyz 都缩放到 [-1, 1] 的范围)
+
 
 ### 透视投影
 
+先挤压视体, 使其成为一个长方体, 那么问题就变为了正交投影.
+
+![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/project5.jpg)
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+这个挤压要保持下面的性质
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+- 近平面的任何点在挤压前后不会变
+- 远平面的 z 值不会发生改变
+- 远平面的中心点位置不会改变
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+![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/project6.jpg)
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+原本的 y 在挤压之后变为 y'  根据相似三角形就可以得到上面的结果
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 ![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/project2.jpg)
 
 ![image](https://raw.githubusercontent.com/lumixraku/NotesForGraphics/master/images/project3.jpg)
@@ -73,4 +148,31 @@ Projection is a Transformation.  投影是一种变换.
 
 https://www.zhihu.com/question/316200199
 
-正交矩阵之所以叫正交矩阵，是因为一套正交基向量在该矩阵变换下仍然是正交的，这是正交矩阵的充分必要条件。很明显的，任何两个向量在旋转矩阵的变换下，这两个向量仍然是正交的，所以旋转矩阵是正交矩阵
+正交矩阵之所以叫正交矩阵，是因为一套正交基向量在该矩阵变换下仍然是正交的，这是正交矩阵的充分必要条件。很明显的，任何两个向量在旋转矩阵的变换下，这两个向量仍然是正交的，所以旋转矩阵是正交矩阵
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+### 关于3D 变换中Ry
+B站有个回答说的很好
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+https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4
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+AT 12:46, 这是因为二位平面定义时，逆时针实际是在三维从z正向看，因此3维绕y旋转，逆时针实际是z向x转，但是旋转矩阵的行列对应关系是x向z转，取逆（转置）就得到了
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+### 关于左手坐标系
+首先把 把左右手坐标系 x 方向都朝一个方向.
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+左手坐标系远的物体 Z 值越大, 但是右手坐标系是远的物体 z 越小.
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+这一点左手坐标系上更加直观.
+
+
+### 关于 Frustum
+
+https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%86%E4%BD%93
+视体（英语：viewing frustum）又称视景体、视锥，是三维世界中在屏幕上可见的区域，即虚拟摄像机的视野。
+
+### 其他一些关于投影的文章
+
+https://blog.csdn.net/qq_35976351/article/details/84889065
+
+http://www.cppblog.com/lai3d/archive/2008/12/15/69515.html