更新「二分图基础知识」相关内容

Author: itcharge

Contents/08.Graph/05.Graph-Bipartite/01.Graph-Bipartite-Basic.md

@@ -0,0 +1,72 @@
+## 1.1 二分图的定义
+
+> **二分图（Bipartite Graph）**：一种特殊的图，其顶点集可以被划分为两个互不相交的子集，使得图中的每一条边都连接着这两个子集中的顶点。换句话说，二分图中的顶点可以被分成两组，使得同一组内的顶点之间没有边相连。
+
+## 1.2 二分图的性质
+
+1. **染色性质**：二分图是二色的，即可以用两种颜色对顶点进行着色，使得相邻顶点颜色不同。
+2. **无奇环**：二分图中不存在长度为奇数的环。
+3. **最大匹配**：二分图的最大匹配问题可以通过匈牙利算法或网络流算法高效求解。
+
+## 1.3 二分图的判定
+
+判断一个图是否为二分图的方法：
+
+1. 使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）进行二着色
+2. 如果在染色过程中发现相邻顶点颜色相同，则该图不是二分图
+3. 如果能够成功完成二着色，则该图是二分图
+
+## 1.4 二分图的应用场景
+
+1. **任务分配**：将工人和任务分别作为两个顶点集，边表示工人可以完成的任务
+2. **婚姻匹配**：将男性和女性分别作为两个顶点集，边表示可能的配对关系
+3. **网络流问题**：许多网络流问题可以转化为二分图最大匹配问题
+4. **资源分配**：将资源和需求分别作为两个顶点集，边表示资源可以满足的需求
+
+## 1.5 二分图的基本算法
+
+1. **匈牙利算法**：用于求解二分图的最大匹配
+2. **Hopcroft-Karp算法**：用于求解二分图的最大匹配，时间复杂度更优
+3. **网络流算法**：将二分图最大匹配问题转化为最大流问题求解
+
+## 1.6 二分图的判定代码
+
+```python
+def is_bipartite(graph):
+    """
+    判断图是否为二分图
+    :param graph: 邻接表表示的图
+    :return: 是否为二分图
+    """
+    n = len(graph)
+    colors = [0] * n  # 0表示未染色，1和-1表示两种不同的颜色
+    
+    def dfs(node, color):
+        colors[node] = color
+        for neighbor in graph[node]:
+            if colors[neighbor] == color:
+                return False
+            if colors[neighbor] == 0 and not dfs(neighbor, -color):
+                return False
+        return True
+    
+    for i in range(n):
+        if colors[i] == 0 and not dfs(i, 1):
+            return False
+    return True
+```
+
+## 1.7 常见问题类型
+
+1. 判断图是否为二分图
+2. 求二分图的最大匹配
+3. 求二分图的最小点覆盖
+4. 求二分图的最大独立集
+5. 求二分图的最小路径覆盖
+
+## 1.8 注意事项
+
+1. 在实现二分图算法时，需要注意图的表示方式（邻接表或邻接矩阵）
+2. 对于大规模图，需要考虑算法的空间复杂度
+3. 在实际应用中，可能需要根据具体问题对基本算法进行优化
+4. 处理有向图时，需要先将其转换为无向图再判断是否为二分图