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Author: itcharge

Contents/08.Graph/04.Graph-Shortest-Path/01.Graph-Single-Source-Shortest-Path-01.md

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-## 1. 单源最短路径的定义
+## 1. 单源最短路径简介
 
 > **单源最短路径（Single Source Shortest Path）**：对于一个带权图 $G = (V, E)$，其中每条边的权重是一个实数。另外，给定 $v$  中的一个顶点，称之为源点。则源点到其他所有各个顶点之间的最短路径长度，称为单源最短路径。
 
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 > **Dijkstra 算法的算法思想**：通过逐步选择距离起始节点最近的节点，并根据这些节点的路径更新其他节点的距离，从而逐步找到最短路径。
 
+Dijkstra 算法是一种用来解决单源最短路径问题的算法。这个算法适用于没有负权边的图。算法的核心思想是从源点出发，逐步找到到其他所有点的最短路径。它通过不断选择当前距离源点最近的节点，并更新与该节点相邻的节点的距离，最终得到所有节点的最短路径。
+
+Dijkstra 算法使用贪心的策略。它每次选择当前未处理的节点中距离源点最近的节点，认为这个节点的最短路径已经确定。然后，它用这个节点的最短路径去更新其他相邻节点的距离。这个过程重复进行，直到所有节点的最短路径都被确定。
+
+Dijkstra 算法的一个重要特点是它不能处理有负权边的图。因为负权边可能导致已经确定的最短路径被破坏。如果图中存在负权边，应该使用 Bellman-Ford 算法或 SPFA 算法。
+
 ### 2.2 Dijkstra 算法的实现步骤
 
+1. 初始化距离数组，将源节点 $source$ 的距离设为 $0$，其他节点的距离设为无穷大。
+2. 维护一个访问数组 $visited$，记录节点是否已经被访问。
+3. 每次从未访问的节点中找到距离最小的节点，标记为已访问。
+4. 更新该节点的所有相邻节点的距离。
+5. 重复步骤 $3 \sim 4$，直到所有节点都被访问。
+6. 最后返回所有节点中最大的距离值，如果存在无法到达的节点则返回 $-1$。
+
+
+
 ### 2.3 Dijkstra 算法的实现代码
 
 ```python
-
+class Solution:
+    def dijkstra(self, graph, n, source):
+        # 初始化距离数组
+        dist = [float('inf') for _ in range(n + 1)]
+        dist[source] = 0
+        # 记录已处理的节点
+        visited = set()
+
+        while len(visited) < n:
+            # 选择当前未处理的、距离源点最近的节点
+            current_node = None
+            min_distance = float('inf')
+            for i in range(1, n + 1):
+                if i not in visited and dist[i] < min_distance:
+                    min_distance = dist[i]
+                    current_node = i
+            
+            # 如果没有可处理的节点（非连通图），提前结束
+            if current_node is None:
+                break
+            
+            # 标记当前节点为已处理
+            visited.add(current_node)
+            
+            # 更新相邻节点的距离
+            for neighbor, weight in graph[current_node].items():
+                new_distance = dist[current_node] + weight
+                if new_distance < dist[neighbor]:
+                    dist[neighbor] = new_distance
+        
+        return dist
+
+# 使用示例
+# 创建一个有向图，使用邻接表表示
+graph = {
+    1: {2: 2, 3: 4},
+    2: {3: 1, 4: 7},
+    3: {4: 3},
+    4: {}
+}
+n = 4  # 图中节点数量
+source = 1  # 源节点
+
+dist = Solution().dijkstra(graph, n, source)
+print("从节点", source, "到其他节点的最短距离：")
+for i in range(1, n + 1):
+    if dist[i] == float('inf'):
+        print(f"到节点 {i} 的距离：不可达")
+    else:
+        print(f"到节点 {i} 的距离：{dist[i]}")
 ```
 
-## 3. Bellman-Ford 算法
+### 2.4 Dijkstra 算法复杂度分析
 
-### 3.1 Bellman-Ford 算法的算法思想
+- **时间复杂度**：$O(V^2)$
+  - 外层循环需要遍历所有节点，时间复杂度为 $O(V)$
+  - 内层循环需要遍历所有未访问的节点来找到距离最小的节点，时间复杂度为 $O(V)$
+  - 因此总时间复杂度为 $O(V^2)$
 
-### 3.2 Bellman-Ford 算法的实现步骤
+- **空间复杂度**：$O(V)$
+  - 需要存储距离数组 `dist`，大小为 $O(V)$
+  - 需要存储访问集合 `visited`，大小为 $O(V)$
+  - 因此总空间复杂度为 $O(V)$
 
-### 3.3 Bellman-Ford 算法的实现代码
 
-```python
+## 3. 堆优化的 Dijkstra 算法
 
-```
+### 3.1 堆优化的 Dijkstra 算法思想
+
+> **堆优化的 Dijkstra 算法**：通过使用优先队列（堆）来优化选择最小距离节点的过程，从而降低算法的时间复杂度。
 
-## 4. SPFA 算法
+在原始的 Dijkstra 算法中，每次都需要遍历所有未访问的节点来找到距离最小的节点，这个过程的时间复杂度是 $O(V)$。通过使用优先队列（堆）来维护当前已知的最短距离，我们可以将这个过程的时间复杂度优化到 $O(\log V)$。
 
-### 4.1 SPFA 算法的算法思想
+堆优化的主要思想是：
+1. 使用优先队列存储当前已知的最短距离
+2. 每次从队列中取出距离最小的节点进行处理
+3. 当发现更短的路径时，将新的距离加入队列
+4. 通过优先队列的特性，保证每次取出的都是当前最小的距离
 
-### 4.2 SPFA 算法的实现步骤
+### 3.2 堆优化的 Dijkstra 算法实现步骤
 
-### 4.3 SPFA 算法的实现代码
+1. 初始化距离数组，将源节点的距离设为 $0$，其他节点的距离设为无穷大。
+2. 创建一个优先队列，将源节点及其距离 $(0, source)$ 加入队列。
+3. 当队列不为空时：
+   - 取出队列中距离最小的节点
+   - 如果该节点的距离大于已知的最短距离，则跳过
+   - 否则，遍历该节点的所有相邻节点
+   - 如果通过当前节点到达相邻节点的距离更短，则更新距离并将新的距离加入队列
+4. 重复步骤 3，直到队列为空
+5. 返回所有节点的最短距离
+
+### 3.3 堆优化的 Dijkstra 算法实现代码
 
 ```python
+import heapq
+
+class Solution:
+    def dijkstra(self, graph, n, source):
+        # 初始化距离数组
+        dist = [float('inf') for _ in range(n + 1)]
+        dist[source] = 0
+        
+        # 创建优先队列，存储 (距离, 节点) 的元组
+        priority_queue = [(0, source)]
+        
+        while priority_queue:
+            current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
+            
+            # 如果当前距离大于已知的最短距离，跳过
+            if current_distance > dist[current_node]:
+                continue
+                
+            # 遍历当前节点的所有相邻节点
+            for neighbor, weight in graph[current_node].items():
+                distance = current_distance + weight
+                if distance < dist[neighbor]:
+                    dist[neighbor] = distance
+                    heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
+        
+        return dist
+
+# 使用示例
+# 创建一个有向图，使用邻接表表示
+graph = {
+    1: {2: 2, 3: 4},
+    2: {3: 1, 4: 7},
+    3: {4: 3},
+    4: {}
+}
+n = 4  # 图中节点数量
+source = 1  # 源节点
+
+dist = Solution().dijkstra(graph, n, source)
+print("从节点", source, "到其他节点的最短距离：")
+for i in range(1, n + 1):
+    if dist[i] == float('inf'):
+        print(f"到节点 {i} 的距离：不可达")
+    else:
+        print(f"到节点 {i} 的距离：{dist[i]}")
 ```
 
+代码解释：
+
+1. `graph` 是一个字典，表示图的邻接表。例如，`graph[1] = {2: 3, 3: 4}` 表示从节点 1 到节点 2 的边权重为 3，到节点 3 的边权重为 4。
+2. `n` 是图中顶点的数量。
+3. `source` 是源节点的编号。
+4. `dist` 数组存储源点到各个节点的最短距离。
+5. `priority_queue` 是一个优先队列，用来选择当前距离源点最近的节点。队列中的元素是 (距离, 节点) 的元组。
+6. 主循环中，每次从队列中取出距离最小的节点。如果该节点的距离已经被更新过，跳过。
+7. 对于当前节点的每一个邻居，计算通过当前节点到达邻居的距离。如果这个距离比已知的更短，更新距离并将邻居加入队列。
+8. 最终，`dist` 数组中存储的就是源点到所有节点的最短距离。
+
+### 3.4 堆优化的 Dijkstra 算法复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O((V + E) \log V)$
+  - 每个节点最多被加入优先队列一次，每次操作的时间复杂度为 $O(\log V)$
+  - 每条边最多被处理一次，每次处理的时间复杂度为 $O(\log V)$
+  - 因此总时间复杂度为 $O((V + E) \log V)$
+
+- **空间复杂度**：$O(V)$
+  - 需要存储距离数组，大小为 $O(V)$。
+  - 优先队列在最坏情况下可能存储所有节点，大小为 $O(V)$。