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Author: wisdompeak

Bit_Manipulation/2527.Find-Xor-Beauty-of-Array/Readme.md

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+### 2527.Find-Xor-Beauty-of-Array
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+因为bit之间彼此互不影响，所以我们这里仅考虑一个bit位的情况。
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+我们要把所有可能的`(a|b)&c`进行异或。这里要注意，异或的本质是就是bit 1的个数。如果有奇数个bit 1进行异或，答案就是1；否则答案就是0. 所以在这里，我们只需要考虑数值为1的c。数值为0的c，只会贡献`(a|b)&c=0`，不影响结果。
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+当我们固定了c，接下来考虑所有`a|b`的配对，我们需要将这些0或1都异或起来。假设有总共有n个元素，其中有x个元素在这个bit上是1，剩下y个元素在这个bit上是0，那么我们选取到`a|b=1`的个数就是`(n^2-y^2)`个（即排除掉选到两个0的可能性）。我们发现`(n^2-y^2)=(n+y)(n-y)=(n+y)x=(2n-x)x`，说明`(n^2-y^2)`的奇偶性取决于x的奇偶性。也就是说，如果在这个bit位上有奇数个1，那么就有奇数个`a|b`的值是1，它们异或的结果就是1. 反之，它们异或的结果就是0. 如果用一个公示表达，那就是等于将所有元素的该bit都异或起来。
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+以上分析是针对固定的c。那么遍历所有的c，会遇到类似的情况。如果固定c对应的`sum(a|b)`是1，那么说明有奇数个c是1，再将奇数个答案异或起来，那还是1. 如果固定c对应的答案是0，那么说明所有的`sum(a|b)`都是0，最终答案还是0. 
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+所以最终答案只需要将所有元素异或起来即可。