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Author: wisdompeak

Template/Inverse_Element/Readme.md

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 CF中经常会要求这样输出结果：```Let this probability be represented as an irreducible fraction x/y. You have to print x⋅y^−1 mod 998244353, where y^−1 is the inverse element of y modulo 998244353 (such integer that y⋅y−1 has remainder 1 modulo 998244353).```
 
-这里的inverse element并不是指的倒数，而是逆元。y的逆元写作y^-1，满足这样的性质：
+这里的inverse element并不是指的倒数，而是逆元。y的逆元写作y^-1，
+
+更一般地，我们说如果a和b满足这样的性质：
+```
+x / a ≡ x * b (mod M)
+```
+从形式上来看，b好像就与1/a（在同余的意义上）等价，所以我们称b就是a的逆元，记做 b = a^-1（反之也成立）。     
+对于a而言，存在逆元的充要条件是a与M互质。当然，我们做题时M一般都已经是质数。
+
+#### 逆元的计算方法
+
+##### 方法1：
 ```
-x / y = x * y^-1 (mod M), M is a prime
+a^-1 ≡ (M- [M/a] )(M%a)^-1(mod M)，其中[]是向下取整。
 ```
-逆元的计算方法如下：
+
+##### 方法2：快速幂法
+根据费马小定理，我们有
 ```
-a^-1 = (M- [M/a] )(M%a)^-1(mod M)，其中[]是向下取整。
+a^-1 ≡ a ^ (M-2)
 ```
-代码如下，可以作为模板记下来。
+显然，我们需要利用快速幂来计算这个数。
+
+##### 方法3：线性求逆元
+如果我们想求1,2,3...N 每个数的逆元：
 ```cpp
-const ll N=1e6+7,mod=998244353;
+const ll N=1e6+7, mod=998244353;
 ll inv[N];
 for(inv[1]=1,i=2;i<N;++i)
     inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod
 ```
+
+#### 逆元的一些性质
 逆元的计算有如下的性质：
 ```
-x1/y1 + x2/y2 = x1 * y1^-1 + x2 * y2^-1 (mod M)
-x1/y1/y2 = x1 * y1^-1 * y2^-1 (mod M)
+x1/y1 + x2/y2 ≡ x1 * y1^-1 + x2 * y2^-1 (mod M)
+x1/y1/y2 ≡ x1 * y1^-1 * y2^-1 (mod M)
 ```